思考知识记录
日常思考及知识点记录
此文档主要记录一些日常经过思考的问题，以及一些容易混淆的知识点，不限于专业知识，可能包括其他学科……
数学类
充要条件的充分和必要性
充要条件的充分性和必要性怎么区分？
记住一点：根据条件椎结论就是证明充分性，根据结论推条件就是证明必要性
充要条件的表述一般有3钟表述方式：
- 求证：$A$是$B$的充要条件
- 求证：$A$的充要条件是$B$
- 求证：$A\Longleftrightarrow B $（等价于第二条，即$A$的充要条件是$B$）
怎么看哪个是条件呢？如上提取主谓宾，谁是条件一目了然。在①中，A是条件，由A推出B就是证明充分性，反之由B推出A就是证明必要性;在②③中，条件是B，所以由B推出A就是证明充分性，反之由A推出B就是证明必要性。
集合类相关
- 常用集合的字母含义
$\mathbb{N}$：自然数集；$\mathbb{Z}$：整数集；$\mathbb{Q}$：有理数集；$\mathbb{R}$：实数集；$\mathbb{C} $：复数集；
专业类
概率论
全概率公式和贝叶斯公式
事件A和事件B，事件A先发生，事件B后发生，（事件B发生的第一步有$n$条路径）。全概率公式用于求事件B的概率，而贝叶斯公式用于反推事件$A_i$的概率。
$$
\begin{aligned}
P(B) &= P(A_1)P(B \mid A_1)+P(A_2)P(B \mid A_2)+\dots+P(A_n)P(B \mid A_n)\
&= \sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B \mid A_i)
\end{aligned}\tag{1}
$$
$$
P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_{i=1}^{N}P(A_i)P(B\mid A_i)}\tag{2}
$$
上式（1）即为全概率公式，式（2）为贝叶斯公式
在通信应用中，接收端收到的信号一般可视为事件B，因此推导接收端的最佳接收性能公式时，通常使用贝叶斯公式。
信号与系统
傅里叶变换的本质
在此首先感谢B站UP主 《喵星考拉》的【硬核】系列视频讲解，本部分有很多的细节都是从她的视频学习得到。
数学是万物根本，是解释其核心原理最直观的体现。
-
傅里叶级数
-
傅里叶级数的系数
$$
F(n)=\frac{1}{T}\int_Tf(t)e^{-jn2\pi f_0t}dt\tag1
$$ -
用傅里叶级数的系数复原原函数
$$
f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}F(n)e^{jn2\pi f_0t}\tag2
$$
傅里叶级数主要用于周期函数的分解，频率间隔 $\Delta f=f_0=1/T$.
-
个人觉得，这个视频最重要的一个结论：傅里叶级数的系数可以等价于函数内积；原函数可以理解为傅里叶系数的一堆线性组合；内积也可以理解为函数在另一空间的投影，对于复数而言，函数内积需对某一个复值取共轭，从距离的角度考虑这个问题，主要原因是$i^2=1$，例如：$(1+i)\times (1-i)=2=|(1+i)|^2$。所以在式$(1)$中$e$指数取了共轭。
-
傅里叶变换
傅里叶变换是从傅里叶级数推导而来，应用场景主要为非周期函数，当频率$\Delta f\to +\infty$，化简上式即可得到傅里叶变换的公式。
