DFT-s-OFDM体制

DFT相关回顾

首先对离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的公式以及性质进行回顾，该部分是基础，对后边波形设计的优化以及整个系统的理解具有重要的作用。

  • DFT公式
    $$
    X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^\frac{-j2\pi nk}{N}=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)W_N^{kn}\qquad 0\le k\le N-1
    $$

  • IDFT公式
    $$
    x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^\frac{j2\pi nk}{N}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{kn}\qquad 0\le n \le N-1
    $$

  • 性质

    • 时域补零——增加频率分辨率

      已知序列 $x(n), 0\le n \le N-1$ ，人为将序列补充至 $rN$，$r$为正整数，得到 $g(n)\quad 0\le n \le rN-1$，即

      $$
      g(n) =
      \begin{cases}
      x(n) & \text{if } 0 \le n \le N-1 \ 0 & \text{if } N \le n \le rN-1
      \end{cases}
      $$

      $g(n)$的离散傅里叶变换为：

      $$
      \begin{equation*}
      \begin{aligned}
      G(k) &= DFT[g(n)]=\sum_{n=0}^{rN-1} g(n)e^\frac{-j2\pi nk}{rN} \ &=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^\frac{-j2\pi n(\frac {n} {k})}{N}=X(\frac{k} {n})\qquad k=0,1,\dots,rN-1
      \end{aligned}
      \end{equation*}
      $$

      上述公式表明，$g(n)$的频谱$G(k)$与$x(n)$的频谱$X(k)$相对应，$G(k)$的频谱间隔相比$X(k)$的频谱间隔降低$k/r$，即序列$x(n)$填充补零再做DFT，可以得到更为精细的频谱。

      另外，若增加长度并未$N$的整数倍，例如 $g(n)$长度为$L>N$，则列长为$L$的序列 $g(n)$的离散傅里叶变换 $G(k)$，可以得到序列 $x(n)$的$L$根谱线，此时比$X(k)$得出得谱线要多。

    • 时域插零（上采样）——频谱扩展复制

      已知序列 $x(n), 0\le n \le N-1$ ，人为将序列样本点之间插入$L-1$个零，$L$也叫上采样倍数，得到新的序列$g(n)$，其长度为$M=LN$，即
      $$
      g[n]=\begin{cases}x(n/L)&\mathrm{if~}n\mod L=0\0&\mathrm{otherwise}&\end{cases}
      $$
      $g(n)$的离散傅里叶变换为记为$G(m)$，与前面的$X(k)$进行区分：

      可以看到，对于每个频率$m$，当$m=k+qN$时（$q$为正整数），会出现周期性重复，即：
      $$
      G(m)=X(k),\qquad m=k+qN,\qquad q=0,1,\dots,N-1
      $$
      即上采样之后频谱会在频率轴上以$N$为间隔重复$L$次。

      另一种推导过程如下：

      $g(n)$是在序列$x(n)$每个采样点后加$L-1$个$0$，其可以表示为：
      $$
      g(n)=x(n/L)\cdot \delta(n\mod L)
      $$
      $\delta(n\mod L)$是一个周期为$L$得脉冲序列，根据DFT性质可以得到$G(k)$为
      $$
      G(k)=\sum_{n=0}^{L-1}X(k-m\cdot \frac{M}{N})
      $$

    • 频域补零——时域内插

      已知序列$X(k),0\le k\le N-1$，人为将序列补充至 $rN$，$r$为正整数，得到$G(k)\quad 0\le k\le rN-1$，即：

      $$
      G(k)=\left{\begin{matrix} X(k)\qquad 0\le k\le N-1\0\qquad N\le k\le rN-1\end{matrix}\right.
      $$
      进一步地，得到时域序列$g(n)$
      $$
      g(n)=\frac{1}{rN}\sum_{k=0}^{rN-1}G(k)e^{\frac{j2\pi kn}{rN}}=\frac{1}{rN}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi kn}{rN}}=\frac{1}{r}x(\frac{n}{r})\qquad n=0,1,\cdots,rN-1
      $$

      上述公式表明，频域补零，时域信号内插出来更多的点，即时域信号更加密集，$1/r$是一个缩放因子，其主要保持信号得能量不变。

    • 频域内插——时域扩展

      已知序列$X(k),0\le k\le N-1$，人为将序列样本点之间插入$L-1$个零，得到的新序列即为$G(m)$，其长度为$M=LN$，表达式如下：
      $$
      G(m)=\begin{cases}X\left(\frac mL\right),&m=0,L,2L,\ldots,(N-1)L \ 0,&otherwise&\end{cases}
      $$
      进一步地，得到时域序列$g(n)$
      $$
      g(n)=\frac1M\sum_{m=0}^{M-1}G(m)e^{j\frac{2\pi}Mmn}=\frac1M\sum_{m=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}M(kL)n} \ =\frac1 {LN} \sum_{m=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}Nkn}=\frac1Lx(n \mod N)\qquad 0\le n\le LN-1
      $$

      这实际上表示$g(n)$ 是 $x(n)$的周期延长 $L$ 倍。也就是说，插零后时域信号$g(n)$ 是将原始信号 $x(n)$ 在时域上拉伸为 L倍长度，并重复出现.

DFT-s-OFDM子载波映射方式

DFT-s-OFDM子载波映射方式分为2种，即集中式（Localized）映射和分布式（Distributed）映射，集中式映射方便频域调度，分布式映射传输可以获得额外的频率分集增益。在LTE上行传输方案中，选用集中式映射方案。