数字滤波器理论

温故而知新，可以为师矣！数字滤波器设计是DSP中很重要的的一个板块，也是比较难理解的一个部分。面对数字滤波器的结构框图，很容易具有畏难心态，至少我是这样的，一看到滤波器结构框图就头大，完全不想看，但滤波器的设计同样是FPGA设计不可缺少的一个环节，因此必须面对它，实则滤波器结构框图本质上是一对数字乘法和加法的结合体，因此从公式本质上理解他，将会事半功倍。

本文以FIR滤波器框图设计为例，体会滤波器框图的设计过程……

  • FIR滤波器的$z$变换表达式
    $$
    H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\sum_{k=0}^{N-1}h\left[k\right]z^{-k}
    $$

  • 时域输出表达式：
    $$
    y[n]=\sum_{k=0}^{N-1}h[k]x[n-k]
    $$

  • 无限冲激响应LTI系统的特征在于有理传递函数，通过线性常系数差分方程表征如下
    $$
    y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]-\sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k]
    $$

上式中，第一项为输入，第二项为反馈项，总体呈现递归结构。

直接I型

对于FIR滤波的直接I型结构框图，其本质上是对式$(2)$的结构框图实现，为了更好理解，将求和符号进行展开，具体如下：
$$
y[n]=h[0]x[n]+h[1]x[n-1]+\cdots+h[N-2]x[n-N+2]+h[N-1]x[n-N+1]
$$
根据上式，即可很容易画出如下框图，记为$I$：

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接下来乱七八糟的结构框图，全都是基于上图进行改造，所以万变不离其宗，最核心的式子为卷积公式，即一堆数字的加法和乘法。

接下来介绍结构框图的转置：转置定理指出：反转信号流图中所有支路的方向，并交换输入与输出，同时将分支节点与相加节点互换，可得到与原系统传递函数相同的转置结构。上图的转置结构如下所示，记为$I_t$：

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看到这儿，似乎有点迷糊，$I_t$和$I$看似一样，又好像不一样，是怎么实现的呢？其实缺了一个中间过程，有了它，一切变得合理起来……

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上图其实与$I_t$完全一样，只是输入输出方向不一样罢了，由此可得转置的具体步骤如下：

  1. 反转信号流方向：
    • 所有箭头方向反转，输入端口变为输出端口，输出端口变为输入端口。
  2. 节点类型转换：
    • 分支节点（信号分叉点） 变为 相加节点。
    • 相加节点 变为 分支节点。
  3. 保持系数和延迟不变：
    • 所有支路的增益系数（如 $b_0,b_1,a_1$ 等）和延迟单元（$z^{−1}$）保留，仅位置因流图反转而调整。
  4. 调整延迟单元位置：
    • 原前向通路的延迟可能变为反馈通路中的延迟，反之亦然，但功能不变。

接下来对结构框图可以进一步优化，因为FIR滤波器成对称结构，系数对称，所以根据$N$的奇偶性可以得到如下两个结构框图：

N为偶数

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N为奇数

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对于FIR滤波的直接I型基于$b_k,a_k$实现的结构框图，其本质上是对式$(3)$的结构框图实现，具体如下：

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直接II型

直接I和II的本质区别：

直接型I（Direct Form I）

  • 结构特点：
    • 零点在前，极点在后：FIR滤波器的分子（零点）和分母（极点）分别用独立的延迟链实现。
    • 双延迟链：需要两组延迟单元（一组用于分子，一组用于分母）。
    • 物理意义明确：输入信号先经过零点（前馈部分），再经过极点（反馈部分）。
  • FIR特例：
    FIR滤波器无极点（分母为1），因此直接型I退化为单一前馈延迟链，仅需一组延迟单元。

直接型II（Direct Form II）

  • 结构特点：
    • 极点在前，零点在后：先处理分母（极点），再处理分子（零点）。
    • 单延迟链：合并分子和分母的延迟单元，减少硬件资源。
    • 数值稳定性问题：极点与零点的顺序可能导致误差积累（对IIR滤波器更显著）。
  • FIR特例：
    FIR滤波器无极点，直接型II退化为延迟链与系数直接连接，但实际应用中较少使用（直接型I更常见）

直接II型则是将直接I型进行简化，系数$a_k和b_k$共用一组延时器，其结构框图如下：

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通常来说，直接I型更直观。

Reference

本文参考《Multirate Filtering for Digital Signal Processing MATLAB Applications (Premier Reference Source) (Ljiljana Milic)》